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数学公式速查表

CSCA 考试必备公式

代数基础

名称公式
一元二次方程求根公式
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
韦达定理
x1+x2=−ba,x1x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}
判别式
Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
因式分解
a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
完全平方
(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2
立方和/差
a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)
二项式定理
(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

数列

名称公式
等差数列通项
an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d
等差数列求和
Sn=n(a1+an)2=na1+n(n−1)2dS_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d
等比数列通项
an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
等比数列求和
Sn=a1(1−rn)1−r,r≠1S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}, \quad r \neq 1
无穷等比级数
S=a11−r,∣r∣<1S = \frac{a_1}{1 - r}, \quad |r| < 1

函数

名称公式
指数运算
am⋅an=am+n,aman=am−na^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
对数运算
log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y
换底公式
log⁡ab=log⁡xblog⁡xa\log_a b = \frac{\log_x b}{\log_x a}
指数与对数关系
y=ax  ⟺  x=log⁡ayy = a^x \iff x = \log_a y
复合函数
(f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x))
反函数
f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = x

三角函数

名称公式
基本关系
sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1
正切定义
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
和角公式(sin)
sin⁡(A±B)=sin⁡Acos⁡B±cos⁡Asin⁡B\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B
和角公式(cos)
cos⁡(A±B)=cos⁡Acos⁡B∓sin⁡Asin⁡B\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B
和角公式(tan)
tan⁡(A±B)=tan⁡A±tan⁡B1∓tan⁡Atan⁡B\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}
二倍角公式(sin)
sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta
二倍角公式(cos)
cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta
二倍角公式(tan)
tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
半角公式
sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2,cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}, \quad \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 + \cos\theta}{2}
辅助角公式
asin⁡x+bcos⁡x=a2+b2sin⁡(x+φ)a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)
正弦定理
asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
余弦定理
c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

导数

名称公式
导数定义
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
幂函数求导
(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n-1}
指数函数求导
(ax)′=axln⁡a,(ex)′=ex(a^x)' = a^x \ln a, \quad (e^x)' = e^x
对数函数求导
(log⁡ax)′=1xln⁡a,(ln⁡x)′=1x(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}, \quad (\ln x)' = \frac{1}{x}
三角函数求导
(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x,(tan⁡x)′=sec⁡2x(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x, \quad (\tan x)' = \sec^2 x
乘法法则
(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'
商法则
(uv)′=u′v−uv′v2(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
链式法则
(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

平面解析几何

名称公式
两点间距离
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
中点公式
(x1+x22,y1+y22)(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})
直线斜率
k=y2−y1x2−x1=tan⁡θk = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \tan\theta
点斜式
y−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0)
一般式
Ax+By+C=0Ax + By + C = 0
点到直线距离
d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
圆的方程
(x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
椭圆方程
x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
双曲线方程
x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
抛物线方程
y2=2pxy^2 = 2px
离心率
e=cae = \frac{c}{a}

向量与复数

名称公式
向量加法
a⃗+b⃗=(x1+x2,y1+y2)\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
数量积（点积）
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=x1x2+y1y2\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = x_1x_2 + y_1y_2
向量模长
∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}
向量夹角
cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
垂直条件
a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0
复数加法
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
复数乘法
(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
复数模
∣a+bi∣=a2+b2|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}

概率与统计

名称公式
古典概率
P(A)=n(A)n(S)P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}
加法法则
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
乘法法则
P(A∩B)=P(A)P(B∣A)P(A \cap B) = P(A)P(B|A)
条件概率
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
排列
Pnr=n!(n−r)!P_n^r = \frac{n!}{(n-r)!}
组合
Cnr=n!r!(n−r)!=(nr)C_n^r = \frac{n!}{r!(n-r)!} = \binom{n}{r}
二项分布
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
均值
xˉ=1n∑i=1nxi\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
方差
s2=1n∑i=1n(xi−xˉ)2s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2
标准差
s=s2s = \sqrt{s^2}

交互式模拟

通过可视化交互工具理解抽象的数学概念。

三角函数与单位圆交互演示

拖动单位圆上的点，实时观察 sin、cos、tan 值的变化和波形图。

5 分钟基础交互式

函数图像变换交互演示

拖动参数观察平移、伸缩、翻折对函数图像的影响。

8 分钟基础交互式

集合运算韦恩图交互演示

用韦恩图直观理解并集、交集、补集和差集。

5 分钟基础交互式

初等函数对比交互演示

对比指数函数、对数函数、幂函数和三角函数的图像和性质。

10 分钟中级交互式

不等式解集可视化

在数轴和坐标平面中查看不等式解集和区间表示。

5 分钟基础交互式

数列可视化：等差与等比数列

通过点列和柱状图直观理解数列的递推关系和求和。

8 分钟基础交互式

微积分可视化：导数与积分

用切线斜率和曲线下面积理解微分与积分的核心思想。

12 分钟中级交互式

圆锥曲线交互演示

调整参数观察椭圆、双曲线和抛物线的形状变化和焦点关系。

10 分钟中级交互式

概率统计模拟器

模拟随机试验、频率稳定性和数据分布变化过程。

8 分钟中级交互式

复数平面与运算可视化

在复平面上查看加法、乘法、模长和辐角的几何意义。

8 分钟中级交互式

向量运算交互演示

可视化向量加法、数量积、夹角和投影的几何意义。

8 分钟中级交互式

立体几何3D图形探索

旋转观察常见立体图形的结构、截面和体积关系。

10 分钟中级交互式

空间坐标系交互演示

理解三维坐标系中的点、距离、向量和位置关系。

8 分钟中级交互式

准备好练习了吗？

通过练习题巩固公式应用

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