CSCA数学 · 导数与微积分练习题(36 道题)

在我们统计的 4 套 CSCA数学真题中，「导数与微积分」尚未出现，时间紧时可优先放在后面。

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考试语言

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知识点概述

导数与微积分是数学分析的核心工具，主要研究函数的变化率、切线斜率以及面积计算等问题。在CSCA考试中，这部分内容通常以计算题和应用题形式出现，要求考生熟练掌握基本求导法则、导数几何意义及简单积分运算。题目难度中等，侧重基础公式的应用和计算准确性。

题目数量:36

重点内容

1基本初等函数的导数公式与运算法则
2导数的几何意义（切线斜率与切线方程）
3复合函数与隐函数的求导方法
4利用导数分析函数的单调性与极值

学习建议

建议通过分类练习巩固求导公式，特别注意复合函数求导的链式法则和切线方程的标准解法。

这只是考试48道题中的1个知识点。试试模拟卷测试综合能力 →

高频陷阱

本考点同学最容易选错的题（数据来自历史匿名作答）

62% 的同学误选了 B

若函数 y=

(x

在 R 上可导，且满足 xf′(x)+

(x

>0 恒成立，常数 a>b，则下列不等式一定成立的是

A.a

(a

(b

B.a

(b

(a

C.a

(a

(b

D.a

(b

(a

整体错误率: 40%　　中位用时: 20s　　基于 314 次作答

为什么会错（正确答案: A）

试题分析：令 g(x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)>0 恒成立，∴g(x) 在 R 上单调递增． ∵a>b,∴g(a)>g(b) 。即 af(a)>bf(b) 。故 A 正确。考点：用导数研究函数的单调性．

51% 的同学误选了 B

函数

(x

=x3+ax2+bx+c ，其中 a、b、c 为实数，当 a2−3b<0 时，

(x

在 R 上是

A.增函数

B.减函数

C.常数

D.无法确定函数的单调性

整体错误率: 50%　　中位用时: 18s　　基于 366 次作答

为什么会错（正确答案: A）

解：因为 f(x)=x3+ax2+bx+c ，所以 f′(x)=3x2+2ax+b ，则 Δ=4a2−12b=4(a2−3b)<0 ，所以 f′(x)>0 在 R 上恒成立，所以 f(x) 在 R 上是增函数；

50% 的同学误选了 C

已知函数

(x

2

−ax 的图象在点 (−1,

(- 1

) 处的切线斜率是 1 ，则此切线方程是

A.x−y−4=0

B.x−y−6=0

C.x+y−4=0

D.x+y−5=0

整体错误率: 46%　　中位用时: 52s　　基于 453 次作答

为什么会错（正确答案: A）

f′(x)=−x

\frac{2}{2}

−a,f′(−1)=−2−a=1,a=−3 ，所以 f(x)=x

2

x

,f(−1)=−2−3=−5 ，所以切线方程为 y+5=x+1,x−y−4=0 ．

学习路径

先掌握

函数基本初等函数导数与微积分

若此考点薄弱，根因常在这些前置

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